Hotelling, c’est le type pas con qui, en 1931, s’est interrogé sur ce que devait être le prix d’un type de biens particuliers : les ressources non renouvelables. Avant tout, soyons précis, j’ai bien dit « ressources non renouvelables », ce qui est beaucoup plus restrictif que « ressources épuisables ». En effet, des tas de ressources renouvelables sont épuisables. Par exemples les êtres humains sont une espèce épuisable. Si on les extermine tous, il n’y en a plus, et ce définitivement (ça marche aussi avec les pigeons). En revanche, même si on mange régulièrement un petit pourcentage de tous les pigeons qui existent, ça n’est pas pour autant que l’espèce des pigeons va disparaître, car à côté des pigeons qui meurent, de nouveaux pigeons apparaissent car les pigeons ont la fâcheuse tendance à se reproduire (ça marche aussi avec les humains). Par contre, pour le pétrole, il en va autrement. Le pétrole ne se renouvelle pas à échelle temporelle humaine, si bien que chaque goûte d’essence brûlée réduit d’autant le stock d’essence disponible pour le futur.

Pour savoir quel doit être le prix d’équilibre d’une ressource non renouvelable, il faut recourir à un principe économique tout simple : l’arbitrage. D’après ce principe, deux placements appartenant à une même classe de risque doivent rapporter le même taux de rendement. Comme la prise en compte du risque ne sert à rien pour comprendre la règle d’Hotelling, nous supposerons que nous somme en univers certain, donc deux actifs différents doivent rapporter le même rendement. Si ça n’est pas le cas, personne ne voudra investir dans l’actif le moins rentable, dont le prix va donc baisser, jusqu’au point où il redevient aussi rentable que l’autre. Un stock de ressource non renouvelable est parfaitement assimilable à un investissement. Acquérir une réserve d’une ressource non renouvelable nécessite une dépense présente, qui permet de générer des gains ultérieurs grâce à la vente de la ressource. En vertu du même principe d’arbitrage, le prix de la réserve doit être égal au prix de vente de la ressource multiplié par la quantité de ressource contenue dans la réserve. Notez au passage qu’on fait, pour que cela soit vrai, l’hypothèse que tout ça se déroule en concurrence parfaite.

Supposons que tous les actifs financiers rapportent un taux d’intérêt de r. Pour que l’investissement dans la ressource rapporte le même rendement qu’un placement au taux r, il faut que le prix d’acquisition de la réserve au temps 0 soit égal à tout ce que va rapporter la réserve dans le futur, actualisé au taux r. Si on appelle P(t) le prix de la ressource en t et S(t) le stock de ressource en t, le prix d’acquisition de la réserve est, en 0, P(0).S(0). Il faut donc comparer ça à la valeur actuel des revenus engendrés. Supposons que l’investisseur souhaite revendre sa réserve au temps x, et appelons R(t) les quantités extraites au temps t. la valeur actuel des revenus futurs est égale à (ne paniquez pas, ne partez pas en courant, après il y a un exemple tout simple) :

La partie gauche de la somme représente les revenus liés à l’exploitation de 0 à x. La partie gauche représente ce que va récupérer l’investisseur en revendant sa réserve au bout de x années. Mais ce qu’on a dit en 0 sera vrai aussi en x. Pour que l’investisseur puisse récupérer P(x)S(x) en x, encore faut-il que P(x) soit le prix d’équilibre. Il faut donc que l’acquéreur en x de la réserve gagne autant en l’achetant qu’en plaçant la même somme au taux r. Donc, s’il souhaite la revendre en y, il faut que la valeur actuelle des revenus entre x et y soit égale à P(x)S(x). On peut donc remplacer l’expression précédente par :

Et si lui même souhaite la revendre en y, il faut que le futur acquéreur etc… bref, en appelant z la date de la fin du monde (en général, on suppose que c’est l’inifini, ce qui est rassurant), la valeur actuelle des revenus futurs engendrés par la réserve pour l’ensemble de ses propriétaires successifs jusqu’à la fin du temps s’écrit :

L’heure est venue de formuler les deux composantes de la règle d’hotelling :

1)      Le prix d’une ressource non renouvelable doit croître à un taux égal au taux d’intérêt.

2)      A la fin du monde, le stock de cette ressource doit être nul. (quand z est l’infini, on dit que la ressource doit être asymptotiquement épuisée).

Pour vous en convaincre, il suffit de remplacer S(z) par 0 et P(t) par P(0)ert dans l’expression précédente. On obtient :

Ce qui est équivalent à :

(parce que les ert et les e-rt s’annulent).

Or, si le stock est nul en z, ça veut dire qu’on a extrait tout ce dont on disposait en 0. donc
,
ce qui implique que l’expression précédente de la valeur actuelle des revenus futurs est bien égale à P(0)S(0). CQFD.

On passe au petit exemple. Pour faciliter les choses, on bascule en temps discret, et on considère que la fin du monde est en 1. Le taux d’intérêt est de 5%, et vous avez 100 euros à investir. Si vous les placez sur le marché financier, vous aurez 105 euros en 1. Imaginons qu’on puisse acheter une réserve de charbon à 1 euro le kilo, et que le prix passe à deux euros l’an prochain. Dans ces conditions, vous n’avez qu’à acheter 100 kilos en 0 et ne rien vendre cette année là, et tout revendre en 1, vous aurez donc 200 au bout du compte. Ce prix n’est donc pas d’équilibre. Tout le monde veut acheter en 0 et tout le monde veut vendre en 1. Il n’y a donc personne pour vendre en 0 et pour acheter en 1. Supposons maintenant que la règle d’hotelling soit respectée. Le prix est de 1 en 0 et de 1,05 en 1. dans ce cas, vous achetez toujours 100 kilos en 0. Supposons qu’en 0, vous clients vous en achètent 60 kilos, et 40 en 1. Combien aurez vous en 1 ?

La première année, en fin d’année, vous placez votre recette de 60 euros à la banque à 5%. Ils vous rapportent 63 euros en 1. Les 40 kilos qui vous restent sont vendus 1,05 euros, ce qui fait 42 euros. En 1, vous avez donc bien 63+42=105 euros au bout du compte.

Notez qu’il ne suffit pas que le prix croisse au taux d’intérêt. Encore faut-il n’il ne parte pas de trop haut, afin qu’il y ait assez de demande pour que tout soit épuisé à la fin du monde. Supposez, par exemple, que le prix soit de 2 en 0 et de 2,1 en 1, ce qui respecte le premier point de la règle d’hotelling. Ce prix étant élevé, vous ne pouvez vendre que, par exemple, 15 en 0 et 10 en 1 sur les 50 kilos que vous avez acheté avec vos 100 euros. Il est facile de voir qu’au bout du compte, vous vous retrouvez avec 15*2+10*2,1=51 euros, soit nettement moins que ce que vous auriez obtenu sur le marché financier. Il convient donc de ne pas oublier cette seconde composante de la règle d’hotelling : le prix doit être tel que la ressource est épuisée à la fin du monde.

Voilà, peut être une suite au prochain épisode, si celui-ci a du succès (le pitch : que se passe-t-il si la ressource non renouvelable est taxée par l’état parce qu’elle pollue ?…)